Zuerst wird die Gesamtzahl $N$ der Atome bestimmt.

\[N=\frac{1,0\cdot10^{-3}kg}{1,6605\cdot10^{-27}kg\cdot226,0254}=2,66\cdot10^{21}\]

Die Anzahl lässt sich über die Aktivität berechnen, da Sie die Zerfälle pro Sekunde angibt.

\begin{eqnarray*} \lambda&=&\frac{\ln2}{T_{\text{½}}}=\frac{\ln2}{1600\cdot365\cdot24\cdot3600s}\\
A(0s)&=&\lambda\cdot n\cdot e^{-\lambda t}\\A(t)&=&\frac{\ln2}{1600\cdot365\cdot24\cdot3600s}\cdot2,66\cdot10^{21}\cdot e^{-\frac{\ln2}{1600\cdot365\cdot24\cdot3600s}0s}\\
A(0s)&=&3,65\cdot10^{10}\,\text{Bq} \end{eqnarray*}

Nun kann als Anfangsmasse $1,0\,$g verwendet werden

\[m(100a)=1,0\,\text{g}\cdot e^{-\frac{\ln2}{1600a}\cdot 100a}=0,9576\,\text{g}\]

Die Aktivität ist nur noch $0,1\cdot A(0)$:

\[A(t)=0,10A_0=\lambda e^{-\lambda\cdot t}\] T_½ wobei $A(0)=\lambda \cdot e^0$ und damit:

\[0,10=e^{-\lambda\cdot t}\Rightarrow t=-\frac{\ln0,10}{\lambda}=-\frac{\ln0,10\cdot T_\text{1/2}}{\ln2}=5315a\]

Gleiche Anzahl an Elementen $\Rightarrow N_{Ho}=N_P$

\[\frac{A_{Ho}}{A_P}=\frac{\lambda_{Ho}N_{Ho}\cdot e^{-\lambda_{Ho}t}}{\lambda_P N_P\cdot e^{-\lambda_P t}}\]

und damit ergibt sich mit $\lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}}$:

\[\frac{A_{Ho}}{A_P}=\frac{T_{1/2;P}}{T_{1/2;Ho}}e^{-\overbrace{(\lambda_{Ho}-\lambda_P)}^{\Delta \lambda}\cdot t}\]

mit Zahlenwerten lautet die Gleichung:

\[\frac{A_{Ho}}{A_P}=\frac{14\,\text{d}}{7\,\text{d}}\cdot e^{-\left(\frac{\ln2}{7\,\text{d}}-\frac{\ln2}{14\,\text{d}}\right)\cdot t} \]

man kann den Exponenten angleichen:

\[\frac{A_{Ho}}{A_P}=2\cdot e^{-\left(\frac{2\ln2}{14\,\text{d}}-\frac{\ln2}{14\,\text{d}}\right)\cdot t} = 2\cdot e^{-\frac{\ln2}{14\,\text{d}}\cdot t} \]

Das Verhältnis entspricht einem Zerfall mit Halbwertszeit von 14 d vom Anfangsverhältnis 2. Damit gestattet die Messung der Isotopenverhältnis eine genaue Zeitmessung.