GK 2009 G PH1

Zu Beachten sind die SI-Einheiten \begin{eqnarray*}I &= \frac{\Delta Q}{\Delta t}\\
\Rightarrow\Delta Q &= I\cdot\Delta t\\
\Delta Q &= 1,3\cdot10^{3}\,\text{A}\cdot14\cdot60\,\text{s}\\
\Delta Q &= 1,1\cdot10^{6}\,\text{C}\end{eqnarray*}

Zuerst muss man die elektrische Feldstärke $\vec{E}$ bestimmen, welches die Spannung $U=400\,$kV durch den Plattenabstand $d=40\,$km hervorruft: \[E=\frac{U}{d}=\frac{400\,\text{kV}}{40\,\text{km}}=10\,\frac{\text{V}}{\text{m}}\] und anschließend die Kraft auf die positive Probeladung $q=1e$ \[F_{\text{el}}=E\cdot q=10\,\frac{\text{V}}{\text{m}}\cdot 1,6022\cdot 10^{-19}\,\text{As}=1,6 \cdot10^{-18}\,\text{N}=1,6\,\text{aN}\]

Gesucht ist die elektrische Energie, wobei man von einer konstanten Spannung $U$ ausgehen darf. \[ E_{\text{el}}=U\cdot I\cdot t=400\,\text{kV}\cdot1,3\,\text{kA}\cdot14\cdot60\,\text{s}=4,4\cdot10^{11}\,\text{J}\quad\surd \]

Die Leistung beträgt $P=U\cdot I=400\,\text{kV}\cdot1,3\,\text{kA}=0,52\,$GW

• Leistung wäre sehr groß, allerdings weltweit verschwindend
• Eingriffe in die Atmosphäre sind gefährlich
• sehr wechselhafte Energiequelle durch ständige Blitzentladungen
• $\ldots$

Eigentlich muss zur Berechnung der Ladungsmenge integriert werden, also jeweils die Fläche des Diagramms ermittelt werden \begin{eqnarray*} Q & = & \underbrace{\frac{1}{2}\cdot10\,\text{µs}\cdot200\,\text{kA}}_{\text{Dreieck zum Anstieg}}+\underbrace{190\,\text{µs}\cdot200\,\text{kA}}_{\text{Rechteck}}+\underbrace{\frac{1}{2}\cdot300\,\text{µs}\cdot200\,\text{kA}}_{\text{Dreieck beim Abklingen}}\\
Q & = & 69\,\text{C}\approx70\,\text{C} \end{eqnarray*} daraus ergibt sich die Blitzhäufigkeit als Frequenz: \[ I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}\Rightarrow\Delta t=\frac{\Delta Q}{I}\xrightarrow{f=\frac{1}{t}}f=\left(\frac{70\,\text{C}}{1,3\,\text{kA}}\right)^{-1}=19\,\text{Hz} \]

Entscheidend ist die Änderung des magnetische Fluss $\dot{\Phi}=\dot{\left(BA\right)}\xrightarrow{\text{Produktregel}}\underbrace{\dot{A}B}_{=0}+\dot{B}A$, d.h. radialsymmetrische Feld um einen stromdurchflossenen Leiter, d.h. die Spule muss senkrecht zum Blitz ausgerichtet sein.

Wir benötigen die Änderungsrate (Steigung $m$) des Magnetfelds. Dieses wird innerhalb $10\,$µs aufgebaut

\[ \dot{B}=\frac{8,0\cdot10^{-4}\,\text{T}}{10\,\text{µs}}=80\,\frac{\text{T}}{\text{s}} \]

damit kann man mit dem Induktionsgesetz die induzierte Spannung berechnen: \[ U_{\text{ind}}=-N\cdot\dot{\Phi}=-1200\cdot80\,\frac{\text{T}}{\text{s}}\cdot2,0\cdot\left(\underbrace{0,010\,\text{m}}_{=1,0\,\text{cm}}\right)^{2}=19\,\text{V} \]

Induktionsphänomen mit $U_{\text{ind}}=-N\dot{\Phi}$

• $90^{\circ}$ phasenverschobener Wechselstrom (cosinusförmig) mit derselben Frequenz und unterschiedlicher Amplitude
• magnetische Fluss $\Phi$ bleibt konstant $\Rightarrow\dot{\Phi}=0$ keine Induktionsspannung

magnetische Flussdichte innerhalb einer langgestreckten Zylinderspule ohne Medium \[ B=\mu_{0}\frac{N_{1}I}{l_{1}}=4\pi10^{-7}\,\frac{\text{Vs}}{\text{Am}}\frac{1460\cdot3,0\,\text{A}}{0,750\,\text{m}}=7,3\,\text{mT} \]

Durch das Auseinanderziehen wird die magnetische Flussdichte geringer $B\sim l^{-1}$ (doppelte Länge $\Rightarrow$ halbe Flussdichte) und damit der magnetische Fluss $\dot{\Phi}\not=0$ \[ U_{\text{ind}}=-N_{2}\dot{\left(BA\right)=-200\cdot20,25\cdot\left(0,01\,\text{m}\right)^{2}\frac{\overbrace{-\frac{1}{2}\cdot7,3\,\text{mT}}^{B\text{ nimmt ab!}}}{0,50\,\text{s}}}=3,0\,\text{mV} \]