GK 2007 GPh2

siehe Buch

Hier muss nur die Energie des Photons berechnet werden $E=hf=h\frac{c}{\lambda}$ und zuerst $W_{a}$ bestimmt werden und anschließend $h$ \begin{eqnarray*} h\frac{c}{\lambda} & = & eU+W_{a}\\
W_{a} & = & h\frac{c}{\lambda_{1}}-eU_{2}\quad\text{Einsetzen in das nächste Wertepaar}\\
h\frac{c}{\lambda_{2}} & = & eU_{2}+h\frac{c}{\lambda_{1}}-eU_{1}\\
h\left(\frac{c}{\lambda_{2}}-\frac{c}{\lambda_{1}}\right) & = & e\left(U_{2}-U_{1}\right)\\
h & = & e\frac{U_{2}-U_{1}}{\frac{c}{\lambda_{2}}-\frac{c}{\lambda_{1}}}=e\frac{635\cdot10^{-3}\,\text{V}-390\cdot10^{-3}\,\text{V}}{\frac{3,0\cdot10^{8}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{447\cdot10^{-9}\,\text{m}}-\frac{3,0\cdot10^{8}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{492\cdot10^{-9}\,\text{m}}}\\
h_{\text{1.Wert}} & = & 3,99\cdot10^{-15}\,\text{eVs}\\
h_{\text{2.Wert}} & = & e\frac{U_{3}-U_{2}}{\frac{c}{\lambda_{3}}-\frac{c}{\lambda_{2}}}=4,20\cdot10^{-15}\,\text{eVs} \end{eqnarray*}
daraus ergibt sich $h$ als Mittelwert zu $4,10\cdot10^{-15}\,$eVs.

Die Breite des Kastenpotentials $l$ ist immer ein Vielfaches der halben Wellenlänge $\frac{\lambda}{2}$ (konstruktive Interferenz) \begin{eqnarray*} p & = & \frac{h}{\lambda}\quad\text{de-Broglie}\\
l & = & n\cdot\frac{\lambda}{2}\quad\text{stehende Welle}\\
\Rightarrow\lambda & = & \frac{2l}{n}\\
p & = & \frac{h}{2l}\cdot n \end{eqnarray*}

Das Elektron muss mindestens den Impuls $p_{1}$ besitzen \begin{eqnarray*} E_{\text{kin}} & = & \frac{1}{2}mv^{2}=\frac{\left(mv\right)^{2}}{2m}\\
E_{\text{kin}} & = & \frac{p^{2}}{2m_{e}}=\frac{h^{2}n^{2}}{2m_{e}4l^{2}}\\
E_{\text{kin}} & = & \frac{6,6261\cdot10^{-34}\,\text{Js}\cdot4,1357\cdot10^{-15}\,\text{eVs}\cdot1^{2}}{8\cdot9,10939\cdot10^{-31}\,\text{kg}\cdot\left(1,4\cdot10^{-10}\,\text{m}\right)^{2}}\\
E_{\text{kin}} & = & 19\,\text{eV} \end{eqnarray*} in der klassischen Physik würde man $E=0\,$eV erwarten.

Besitzt das Elektron eine Geschwindigkeit $v>0,1c$ so müsste relativistisch gerechnet werden \begin{eqnarray*} E_{\text{max. klassisch}} & = & \frac{1}{2}m_{e}\left(0,1c\right)^{2}=\frac{1}{2}\cdot9,10939\cdot10^{-31}\,\text{kg}\cdot\left(0,1\cdot3,0\cdot10^{8}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^{2}\\
E_{\text{max. klassisch}} & = & 4,099\cdot10^{-16}\,\text{J}>\frac{h^{2}n^{2}}{8m_{e}l^{2}}\\
n & < & \sqrt{\frac{4,099\cdot10^{-16}\,\text{J}\cdot8\cdot9,10939\cdot10^{-31}\,\text{kg}\cdot\left(1,4\cdot10^{-10}\,\text{m}\right)^{2}}{\left(6,6261\cdot10^{-34}\,\text{Js}\right)^{2}}}\\
n & < & 11,54 \end{eqnarray*} die maximale Quantenzahl ist somit 11.

• $U_{b}$ ist die Beschleunigungsspannung besitzt die Größenordnung $100\,$kV
• $U_{H}$ ist die Heizspannung und dient dazu Elektronen aus der Kathode zu lösen

Der kontinuierliche Teil entsteht aus dem Bremsspektrum $E_{\text{kin}}\xrightarrow{\text{umgewandelt}}E_{th}+E_{X-Ray}$ an der Anode. Elektronen werden durch die angelegte Beschleunigungsspannung $U_{b}$ beschleunigt. $\lambda_{G}$ entsteht, wenn die gesamte kinetische Energie der Elektronen in ein einziges Röntgenphoton umgewandelt wird (beachte $E$-Erhaltung). \begin{eqnarray*} E_{Ph} & = & E_{el}\\
hf & _{g}= & eU\\
\frac{c}{\lambda_{g}} & = & \frac{eU}{h}\\
\lambda_{g} & = & \frac{hc}{eU}=\frac{4,1357\cdot10^{-15}\,\text{eVs}\cdot3,0\cdot10^{8}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{40\,\cdot10^{3}\text{eV}}\\
\lambda_{g} & = & 3,1\cdot10^{-11}\,\text{m}=31\,\text{pm} \end{eqnarray*}

Die $K_{\alpha}-$Linie entsteht, wenn das durch das $U_{b}$ beschleunigte freie Elektron ein gebundenes Elektron des Anodenmaterials der $K-$Schale herausschlägt. Durch Auffüllen der Lücke in der $K-$Schale aus der $L-$Schale entsteht das charakteristische Spektrum, welches diesen diskreten Übergang zugrunde liegt.

Beachtet werden muss immer das Bremsspektrum inklusive Grenzwellenlänge und das charakteristische Spektrum des Anodenmaterials

• keine Grenzwellenlänge, verletzt die Energieerhaltung bei der Umwandlung
• charakteristisches Absorptions-, statt Emissionsspektrum
• im langwelligen Bereich gibt es keine Grenze, Energieaufteilung $E_{X-Rays}$ und $E_{th}$ beliebig