math:q12:raumgeometrie2

Aufgabe 14

a)

man sieht sofort, dass die Richtungsvektoren linear unabhängig sind, es also keine relle Zahl $r\in\mathbb{R}$ gibt mit \[ \begin{pmatrix}1\\
-2\\
1 \end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\
0\\
1 \end{pmatrix} \] man sucht also einen Schnittpunkt durch Gleichsetzen \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3\\
-1\\
1 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\
-2\\
1 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}0\\
-2\\
6 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\
0\\
1 \end{pmatrix}\quad|-\begin{pmatrix}0\\
-2\\
6 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}3\\
1\\
-5 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\
-2\\
1 \end{pmatrix} & = & \mu\begin{pmatrix}1\\
0\\
1 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{matrix}\text{I: }3+\lambda=\mu\\
\text{II: }1-2\lambda=0\\
\text{III: }-5+\lambda=\mu \end{matrix} \end{eqnarray*} damit ergibt sich nach II $\lambda=\frac{1}{2}$ und damit nach I $\mu=3,5$. Wir überprüfen alles in III: $-5+\frac{1}{2}\not=3,5$, also sind die Geraden windschief

b)

die beiden Geraden sind offensichtlich nicht parallel, also linear unabhängig. Wir suchen einen Schnittpunkt \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}4\\
2\\
3 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-1\\
1\\
0 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}-1\\
7\\
3 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\
0\\
1 \end{pmatrix}\quad|-\begin{pmatrix}-1\\
7\\
3 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}5\\
-5\\
0 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-1\\
1\\
0 \end{pmatrix} & = & \mu\begin{pmatrix}2\\
0\\
1 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}\text{I: }5-\lambda=2\mu\\
\text{II: }-5+\lambda=0\\
\text{III: }0=\mu \end{matrix} \end{eqnarray*} also muss nach III $\mu=0$ sein und $\lambda=5$ nach II. Kontrolle in I liefert $5-5=2\cdot0\quad\surd$\\
$\Longrightarrow$Die Geraden schneiden sich im Schnittpunkt $S\left(-1|7|3\right)$ (Aufpunkt von Geraden $h$ wegen $\mu=0$)

Natürlich interessiert uns der Schnittwinkel \[ \cos\varphi=\frac{\begin{pmatrix}-1\\
1\\
0 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\
0\\
1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1+1+0}\cdot\sqrt{4+0+1}}=\frac{-2+0+0}{\sqrt{2}\sqrt{5}}\rightarrow\varphi=\cos^{-1}\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=129,2{}^{\circ} \] also der Schnittwinkel $\alpha=50,8^{\circ}$

c)

die beiden Geraden sind ebenfalls nicht parallel, also wird ein Schnittpunkt gesucht \[ \begin{pmatrix}3\\
0\\
0 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\
2\\
-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
-2\\
0 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\
0\\
1 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{matrix}\text{I: }3=3\mu\\
\text{II: }2\lambda=-2\\
\text{III: }-\lambda=\mu \end{matrix} \] also $\mu=1$ und $\lambda=-1$ und damit passt auch III. Der Schnittpunkt ist $S\left(3|-2|1\right)$. Es fehlt noch der Schnittwinkel $\varphi$ \[ \cos\varphi=\frac{\begin{pmatrix}0\\
2\\
-1 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\
0\\
1 \end{pmatrix}}{\sqrt{0+4+1}\cdot\sqrt{9+0+1}}=\frac{0+0-1}{\sqrt{5\cdot10}}\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}\frac{-1}{\sqrt{50}}=98,1^{\circ} \] es ergibt sich somit der Schnittwinkel $\alpha=81,9^{\circ}$

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  • Zuletzt geändert: 2012/02/28 17:15
  • von jalmer