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math:q12:raumgeometrie

Geraden und Ebenen im Raum

Aufgabe 1

Punkte erhält man, indem man verschiedene Werte für $\lambda$ einsetzt. \begin{eqnarray} \lambda=0 \Rightarrow \vec{X}_{0}=\begin{pmatrix}4\\\\ -2\\\\ 5 \end{pmatrix}\\\\ \lambda=1 \Rightarrow \vec{X}_{1}=\begin{pmatrix}4-1\\\\ -2+2\\\\ 5-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\\\ 0\\\\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}

Aufgabe 3

a)

Man kann z.B. eine Geradengleichung aufstellen und überprüfen, ob der dritte Punkt Element dieser Menge ist. \begin{eqnarray*} \vec{AB} & = & \vec{B}-\vec{A}\\\\ & = & \begin{pmatrix}-3\\\\ 5\\\\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\\\ 1\\\\ 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\\\ 4\\\\ -2 \end{pmatrix}\\\\ g:\vec{X} & = & \begin{pmatrix}-2\\\\ 1\\\\ 7 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-1\\\\ 4\\\\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*} Mit Hilfe der Probe kann man nun den dritten Punkt überprüfen \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\\\ -11\\\\ 12 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}-2\\\\ 1\\\\ 7 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-1\\\\ 4\\\\ -2 \end{pmatrix}\quad|-\begin{pmatrix}-2\\\\ 1\\\\ 7 \end{pmatrix}\\\\ \begin{pmatrix}1+2\\\\ -11-1\\\\ 12-7 \end{pmatrix} & = & \mu\begin{pmatrix}-1\\\\ 4\\\\ -2 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{matrix}\mu=-3\\\\ \mu=-3\\\\ \mu=-\frac{5}{2} \end{matrix} \end{eqnarray*} Punkt $C$ ist nicht Element der Geraden durch die Punkte $A$ und $B$.

b)

Wir berechnen $\vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}=\begin{pmatrix}-16\\
3\\
6 \end{pmatrix}$ und $\vec{BC}=\vec{C}-\vec{B}=\begin{pmatrix}-8\\
-1,5\\
3 \end{pmatrix}$ und überprüfen, ob dies dieselben Richtungsvektoren bis auf eine multiplikative Konstante sind, sprich ob sie linear unabhängig sind \[ \begin{pmatrix}-16\\\\ 3\\\\ 6 \end{pmatrix}=n\cdot\begin{pmatrix}-8\\\\ -1,5\\\\ 3 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{matrix}n=2\\\\ n=-2\\\\ n=2 \end{matrix} \] es sind zwei unterschiedliche Richtungsvektoren und damit können die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.

d)

zuerst setzt man die beiden Geraden gleich \[\begin{pmatrix}1\\\\ 5\\\\ 2 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-3\\\\ 1\\\\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\\ 6\\\\ 0 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}5\\\\ -5\\\\ 2 \end{pmatrix}\qquad|-\begin{pmatrix}-2\\\\ 6\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\\\ -1\\\\ 2 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-3\\\\ 1\\\\ -2 \end{pmatrix} =\mu \begin{pmatrix}5\\\\ -5\\\\ 2 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}I:\,3-3\lambda=5\mu\\\\ II:\,-1+\lambda=-5\mu\\\\ III:\,2-2\lambda=2\mu \end{matrix}\] wir verwenden dass Additionsverfahren \[2\cdot II+III \Rightarrow \overbrace{-2+2\lambda}^{2\cdot\text{rechte Seite II}}+\underbrace{2-2\lambda}_{\text{rechte Seite III}}=\overbrace{-10\mu}^{2\cdot\text{lS II}}+\underbrace{2\mu}_{\text{lS III}}\\\\ 0 = -8\mu\Rightarrow\mu=0\xrightarrow{\mu\text{ in II}}-1+\lambda=0\Rightarrow\lambda=1\] wir überprüfen das Ganze in der noch nicht verwendeten Gleichung $I:3-3\cdot1=5\cdot0\quad\surd$

Der Winkel ergibt sich über das Skalarprodukt \[\cos\varphi=\frac{\begin{pmatrix}-3\\\\ 1\\\\ -2 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}5\\\\ -5\\\\ 2 \end{pmatrix}}{\sqrt{9+1+4}\cdot\sqrt{25+25+4}}=\frac{-15-5-4}{\sqrt{14\cdot54}}\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}\frac{-24}{\sqrt{756}}=151^{\circ}\] und damit der spitze Winkel $\alpha=29^{\circ}$ .

Aufgabe 4

Zuerst muss die Geradengleichung aufgestellt werden. \[ g:\vec{X}=\vec{A}+\mu\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\\\ 0\\\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\\\ 3\\\\ 5 \end{pmatrix} \]

a)

Man muss einfach alle Punkte überprüfen: \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1\\\\ -3\\\\ -6 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}2\\\\ 0\\\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\\\ 3\\\\ 5 \end{pmatrix}\quad|-\vec{A}\\\\ \begin{pmatrix}-3\\\\ -3\\\\ -5 \end{pmatrix} & = & \mu\begin{pmatrix}3\\\\ 3\\\\ 5 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{matrix}\mu=-1\\\\ \mu=-1\\\\ \mu=-1 \end{matrix}\\\\ C & \in & g \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}8\\\\ 6\\\\ 8 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}2\\\\ 0\\\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\\\ 3\\\\ 5 \end{pmatrix}\quad|-\vec{A}\\\\ \begin{pmatrix}6\\\\ 6\\\\ 9 \end{pmatrix} & = & \mu\begin{pmatrix}3\\\\ 3\\\\ 5 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{matrix}\mu=2\\\\ \mu=2\\\\ \mu=\frac{9}{5} \end{matrix}\\\\ D & \not\in & g \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3\\\\ 1\\\\ 1 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}2\\\\ 0\\\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\\\ 3\\\\ 5 \end{pmatrix}\quad|-\vec{A}\\\\ \begin{pmatrix}1\\\\ 1\\\\ 2 \end{pmatrix} & = & \mu\begin{pmatrix}3\\\\ 3\\\\ 5 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{matrix}\mu=\frac{1}{3}\\\\ \mu=\frac{1}{3}\\\\ \mu=\frac{2}{5} \end{matrix}\\\\ E & \not\in & g \end{eqnarray*}

Eigentlich bearbeiten wir hier gerade 3 Gleichungssystem I, II, III auf einmal :-D

b)

wenn möglich bedeutet, nur wenn es eine eindeutige Lösung gibt: \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-2\\\\ f_{2}\\\\ f_{3} \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}2\\\\ 0\\\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\\\ 3\\\\ 5 \end{pmatrix}\quad|-\vec{A}\\\\ \begin{pmatrix}-4\\\\ f_{2}\\\\ f_{3}+1 \end{pmatrix} & = & \mu\begin{pmatrix}3\\\\ 3\\\\ 5 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{matrix}\mu=-\frac{4}{3}\quad\text{hier legen wir den Parameter }\mu\text{ fest}\\\\ f_{2}=-\frac{4}{3}\cdot3=-4\quad\text{wir berechnen damit die weiteren Koordinaten}\\\\ f_{3}+1=-\frac{4}{3}\cdot5\quad|-1\Rightarrow f_{3}=\frac{-20-3}{3}=-\frac{23}{3} \end{matrix} \end{eqnarray*} $F\left(-4|-4|-\frac{23}{3}\right)$\\
Für den Punkt $G$ ergibt sich wegen der 2.Koordinaten $\mu=-\frac{2}{3}$ und damit $G\left(2-2|-2|-\frac{3}{3}-\frac{10}{3}\right)\Rightarrow G\left(0|-2|-\frac{13}{3}\right)$ und zuletzt $H\left(\frac{7}{5}|-\frac{3}{5}|-2\right)$

c)

Ein Gegenbeispiel wäre die $x_{2}-$Achse.

Aufgabe 5

Schnittpunkt erhält man durch Gleichsetzen \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}4\\\\ 1\\\\ 4 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-1\\\\ 2\\\\ 2 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}-1\\\\ -1\\\\ 0 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\\\ 0\\\\ 1 \end{pmatrix}\quad|-\begin{pmatrix}-1\\\\ -1\\\\ 0 \end{pmatrix}\\\\ \begin{pmatrix}5\\\\ 2\\\\ 4 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-1\\\\ 2\\\\ 2 \end{pmatrix} & = & \mu\begin{pmatrix}3\\\\ 0\\\\ 1 \end{pmatrix}\quad\begin{matrix}\text{I: }5-\lambda=3\mu\\\\ \text{II: }2+2\lambda=0\\\\ \text{III: }4+2\lambda=\mu \end{matrix} \end{eqnarray*} und anschließt löst man dies möglichst geschickt. Hier vielleicht mit II beginnen \begin{eqnarray*} \text{II folgt }\lambda & = & -1\quad\\\\ \text{einsetzen in I }5+1 & = & 3\mu\Rightarrow\mu=2\\\\ \text{überprüfen in III }4+2\cdot\left(-1\right) & = & 2\quad\surd \end{eqnarray*} und nun entweder $\lambda=-1$ oder $\mu=2$ in die entsprechende Gleichung einsetzen \[ \vec{S}=\begin{pmatrix}4\\\\ 1\\\\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\\\ 2\\\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\\\ -1\\\\ 2 \end{pmatrix} \] den Schnittwinkel liefert dann das Skalarprodukt $\cos\varphi=\frac{\vec{u}_{g}\circ\vec{u}_{h}}{\left|\vec{u}_{g}\right|\cdot\left|\vec{u}_{h}\right|}$ \begin{eqnarray*} \vec{u}_{g}\circ\vec{u}_{h} & = & -1\cdot3+2\cdot0+2\cdot1=-1\\\\ \left|\vec{u}_{g}\right| & = & \sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3\\\\ \left|\vec{u}_{h}\right| & = & \sqrt{3^{2}+0^{2}+1^{1}}=\sqrt{10}\\\\ \cos\varphi & = & \frac{-1}{3\cdot\sqrt{10}}\Rightarrow\varphi=96^{\circ} \end{eqnarray*} damit ist der spitze Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren $180^{\circ}-96^{\circ}=84^{\circ}$

b)

Die $x_{1}-$Achse ist die Gerade mit Aufpunkt $\left(0|0|0\right)$und Richtungsvektor $\left(1|0|0\right)$ oder ein Vielfaches \[ \begin{pmatrix}5\\\\ 3\\\\ -6 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\\\ -2\\\\ 4 \end{pmatrix}=\mu\begin{pmatrix}1\\\\ 0\\\\ 0 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{matrix}\\\\ \lambda=\frac{3}{2}\\\\ -6+\frac{3}{2}\cdot4=0\,\surd \end{matrix} \] und damit ergibt sich für $\mu=5+\frac{3}{2}\cdot4=11$ und der Schnittpunkt ist $S\left(11|0|0\right)$ (offensichtlich auf der $x_{1}-$Achse) \[ \cos\varphi=\frac{4\cdot1+0+0}{\sqrt{16+4+16}\cdot1}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\Rightarrow\varphi=48,2^{\circ} \]

Aufgabe 7

Zuerst stellen wir fest, dass es keinen Schnittpunkt gibt \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3\\\\ 0\\\\ 0 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\\\ 1\\\\ 0 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}-2\\\\ 2\\\\ 0 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\\\ 4\\\\ -2 \end{pmatrix}\quad|-\begin{pmatrix}-2\\\\ 2\\\\ 0 \end{pmatrix}\\\\ \begin{pmatrix}5\\\\ -2\\\\ 0 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\\\ 1\\\\ 0 \end{pmatrix} & = & \mu\begin{pmatrix}0\\\\ 4\\\\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}

$\Longrightarrow$die erste Koordinate liefert keine Lösung für beliebiges $\lambda,\mu$

Wir müssen nun noch die Parallelität überprüfen \[ \begin{pmatrix}0\\\\ 1\\\\ 0 \end{pmatrix}=n\begin{pmatrix}0\\\\ 4\\\\ -2 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{matrix}\\\\ n=\frac{1}{4}\\\\ n=0\text{ Widerspruch!} \end{matrix} \]

Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig und somit sind die beiden Geraden windschief.

Aufgabe 9

a)

Zuerst die Koordinaten ablesen: $A(7|0|7);\, B\left(0|5|1\right);\, C\left(9|0|1\right);\, D\left(0|7|7\right)$ \begin{eqnarray*} g:\vec{X} & =\vec{A}+\lambda\vec{AB}= & \begin{pmatrix}7\\\\ 0\\\\ 7 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-7\\\\ 5\\\\ -6 \end{pmatrix}\\\\ h:\vec{X} & =\vec{C}+\mu\vec{CD}= & \begin{pmatrix}9\\\\ 0\\\\ 1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}9\\\\ -7\\\\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*} anschließend einen Schnittpunkt suchen \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}7\\\\ 0\\\\ 7 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-7\\\\ 5\\\\ -6 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}9\\\\ 0\\\\ 1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}9\\\\ -7\\\\ -6 \end{pmatrix}\\\\ \begin{pmatrix}-2\\\\ 0\\\\ 6 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-7\\\\ 5\\\\ -6 \end{pmatrix} & = & \mu\begin{pmatrix}9\\\\ -7\\\\ -6 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{matrix}\text{I: }-2-7\lambda=9\mu\\\\ \text{II: }5\lambda=-7\mu\\\\ \text{III: }6-6\lambda=-6\mu \end{matrix} \end{eqnarray*} das GS muss gelöst werden \begin{eqnarray*} \text{II in III/6: }1-\left(\frac{-7}{5}\mu\right) & = & -\mu\quad|\cdot5\\\\ 5+7\mu & = & -5\mu\quad|5\mu-5\\\\ -5 & = & 12\mu\Rightarrow\mu=-\frac{5}{12}\xrightarrow{\text{in II}}\lambda=-\frac{7}{12} \end{eqnarray*} eingesetzt in die verbleibene Gleichung I: -2 \begin{eqnarray*} -2-7\cdot\left(-\frac{7}{12}\right) & = & 9\cdot\left(-\frac{5}{12}\right)\\\\ -\frac{24}{12}+\frac{49}{12} & = & -\frac{45}{12}\quad\text{Widerspruch} \end{eqnarray*} die Geraden sind windschief.

math/q12/raumgeometrie.txt · Zuletzt geändert: 2012/03/03 07:01 von admin