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math:q12:abi14a1

Abitur 2014 CAS

Analysis A1 - Teil A

Aufgabe 1

Zuerst die Ableiitungsfunktion und anschließend die Nullstellen \begin{eqnarray*} f'\left(x\right)\left(=\frac{NAZ-ZAN}{N^{2}}\right) & = & \frac{\ln\left(x\right)\cdot1-x\cdot\frac{1}{x}}{\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}\\ f'\left(x_{0}\right) & = & 0\qquad\text{nur Zählerfunktion wichtig}\\ \ln\left(x\right)-1 & = & 0\qquad|+1\\ \ln\left(x\right) & = & 1\Rightarrow x=e\\ y_{0} & = & f\left(e\right)=\frac{e}{1}=e \end{eqnarray*} da $\ln\left(x\right)$ streng monoton steigend, ist dies ein Minimum bei $\left(e|e\right)$.


da $e^{x}>0$ für alle $x$,

müssen nur die Nullstellen der 2. Faktorfunktion bestimmt werden \begin{eqnarray*} 2x+x^{2} & = & 0\\ x\left(2+x\right) & = & 0\Rightarrow x_{0}=0;\, x_{1}=-2 \end{eqnarray*}

Die Ableitung der Stammfunktion muss die eigentliche Funktion sein \begin{eqnarray*} F'\left(x\right) & = & f\left(x\right)\\ \left(x^{2}\cdot e^{x}\right)' & = & 2xe^{x}+x^{2}e^{x}\\ & = & e^{x}\left(2+x^{2}\right) \end{eqnarray*} soll G$\left(1\right)=2e$ sein, so muss einen additive Konstante $c$ hinzugefügt werden \begin{eqnarray*} G\left(1\right) & = & 2e\\ 1^{2}\cdot e^{1}+c & = & 2e\Rightarrow c=e \end{eqnarray*}

Aufgabe 2 - Die allgemeine Sinusfunktion

Der Parameter $a$ staucht, bzw. streckt entlang der $x-$Achse und $c$ verschiebt entlang der $y-$Achse.

hier muss nur $c$ angepasst werden \[ g_{1;1}\left(x\right)=\sin\left(1\cdot x\right)+1 \]

bei einem vollen Umlauf, besitzt $\sin\left(x\right)$genau 3 Nullstellen \[ g_{2;0}\left(x\right)=\sin\left(2x\right)+0 \] \item Zuerst die Ableitung mit der Kettenregel \begin{eqnarray*} g'_{a;c}\left(x\right) & = & a\cdot\cos\left(a\cdot x\right)+0\\ \Rightarrow\mathbb{W}_{g'_{a;c}} & = & \left[a;-a\right] \end{eqnarray*} da $\cos\left(x\right)$ Werte zwischen -1 und 1 annimmt.

Analysis 2014 CAS - Teil B

Aufgabe 1

Zuerst aus der Steigung den Winkel für jede Gerade bestimmen und anschließend den Zwischenwinkel \begin{eqnarray*} \tan\alpha & = & 0,45\xrightarrow{\tan^{-1}\left(0,45\right)}24°\\ \tan\beta & = & -0,5\xrightarrow{\tan^{-1}\left(-0,5\right)}-27°\\ \gamma & = & \alpha-\beta=24°+27°=51° \end{eqnarray*}

Aufgabe 2

Die allgemeine Funktion dritten Grades $f\left(x\right)=a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d$ \begin{eqnarray*} f\left(-10\right) & = & -4,5\qquad\text{Punkt ${P}$ enthalten}\\
f\left(3,18\right) & = & -1,59\qquad\text{Punkt ${Q}$ enthalten}\\
f'\left(-10\right) & = & 0,45\qquad\text{Steigung identisch zu A92}\\
f'\left(3,18\right) & = & -\frac{1}{-0,5}\qquad\text{Steigung senkrecht auf B299} \end{eqnarray*} , da $m_{1}\cdot m_{2}=-1$ für sich senkrecht schneidende Geraden.

Aufgabe 3

Gesucht ist die Nullstellte der 2. Ableitung, da Krümmungswechsel für kubische Funktionen \begin{eqnarray*} s\left(x\right) & := & 0,01156x^{3}+0,1771x^{2}+0,5230x-5,416\\ ds\left(x\right) & := & \frac{d}{dx}\left(s\left(x\right)\right)\\ dds\left(x\right) & := & \frac{d}{dx}\left(ds\left(x\right)\right)\\ solve\left(dds\left(x\right)=0,x\right) & & x=-5,10669\\ s\left(-5,10669\right) & & -5,00782 \end{eqnarray*}

Aufgabe 5

Paralle zur B299 bedeutet, eine Steigung von $m=ds\left(x\right)=-0,5$ \[ solve\left(ds\left(x\right)=-0.5,x\right)\qquad false \] und damit exisitiert keine derartige Stelle. \item Flächen zwischen den Graphen, zuerst von Abfahrt $P$ bis zur $y-$Achse \[ \int_{-10}^{0}s\left(x\right)-0,45\cdot x\text{d}x\qquad-27,6767 \] und dann von der $y-$Achse bis zum Punkt $Q$ \[ \int_{0}^{3,18}s\left(x\right)-\left(-0,5\cdot x\right)\text{d}x\qquad-9,85649 \] und damit ergeben sich 37,533 Flächeneinheiten, wobei bei einem Flächeneinheitsquadrat mit Seitenlänge 20m dies mit $\left(20m\right)^{2}$ multipliziert werden muss. \[ A=37,533\cdot\left(20\,\text{m}\right)^{2}=15013,2\,\text{m²} \]

Aufgabe 6

Dies entspricht dem Abstand (Phytagoras), wobei die Funktion um 6 nach rechts und um 8 nach unten verschoben wurde, eben den Punkt $T$ als Ursprung. \item Geringste Abstand $\Rightarrow$ Extremum, hier Minimum der Funktion \begin{eqnarray*} a\left(x\right) & := & \sqrt{\left(x-6\right)^{2}+\left(s\left(x\right)+8\right)^{2}}\\ da\left(x\right) & := & \frac{d}{dx}\left(a\left(x\right)\right)\\ dda\left(x\right) & := & \frac{d}{dx}\left(da\left(x\right)\right)\\ solve\left(da\left(x\right)=0\right) & & 1.54678\\ dda\left(1.54678\right) & & 0.697>0 \end{eqnarray*} und damit liegt ein Minmum vor. Der Abstand beträgt dann \[ 20\cdot a\left(1.54678\right)\qquad117.859 \] also ca. 118m.

Aufgabe 7

Mittlere Gefälle ist der Quotient aus Höhenunterschied $\Delta h=4,7\,$m zur Strecke $\Delta s$ (siehe Steigungsdreieck). Die Strecke $\Delta s$ liefert die gegebene Funktion $d$ \[ \Delta s=\int_{-10}^{3,18}\sqrt{1+\left(ds\left(x\right)\right)^{2}}\text{d}x\qquad15,4208 \] und damit ist das mittlere Gefälle \[ \frac{4,7\,\text{m}}{15,42\cdot20\,\text{m}}=1,5\% \]

math/q12/abi14a1.txt · Zuletzt geändert: 2015/01/20 18:23 von admin