Abitur 2014 CAS
Analysis A1 - Teil A
Aufgabe 1
Zuerst die Ableiitungsfunktion und anschließend die Nullstellen \begin{eqnarray*} f'\left(x\right)\left(=\frac{NAZ-ZAN}{N^{2}}\right) & = & \frac{\ln\left(x\right)\cdot1-x\cdot\frac{1}{x}}{\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}
f'\left(x_{0}\right) & = & 0\qquad\text{nur Zählerfunktion wichtig}
\ln\left(x\right)-1 & = & 0\qquad|+1
\ln\left(x\right) & = & 1\Rightarrow x=e
y_{0} & = & f\left(e\right)=\frac{e}{1}=e
\end{eqnarray*} da $\ln\left(x\right)$ streng monoton steigend, ist dies ein Minimum bei $\left(e|e\right)$.
da $e^{x}>0$ für alle $x$,
müssen nur die Nullstellen der 2. Faktorfunktion bestimmt werden
\begin{eqnarray*}
2x+x^{2} & = & 0
x\left(2+x\right) & = & 0\Rightarrow x_{0}=0;\, x_{1}=-2
\end{eqnarray*}
Die Ableitung der Stammfunktion muss die eigentliche Funktion sein
\begin{eqnarray*}
F'\left(x\right) & = & f\left(x\right)
\left(x^{2}\cdot e^{x}\right)' & = & 2xe^{x}+x^{2}e^{x}
& = & e^{x}\left(2+x^{2}\right)
\end{eqnarray*}
soll G$\left(1\right)=2e$ sein, so muss einen additive Konstante
$c$ hinzugefügt werden
\begin{eqnarray*}
G\left(1\right) & = & 2e
1^{2}\cdot e^{1}+c & = & 2e\Rightarrow c=e
\end{eqnarray*}
Aufgabe 2 - Die allgemeine Sinusfunktion
Der Parameter $a$ staucht, bzw. streckt entlang der $x-$Achse und $c$ verschiebt entlang der $y-$Achse.
hier muss nur $c$ angepasst werden \[ g_{1;1}\left(x\right)=\sin\left(1\cdot x\right)+1 \]
bei einem vollen Umlauf, besitzt $\sin\left(x\right)$genau 3 Nullstellen
\[
g_{2;0}\left(x\right)=\sin\left(2x\right)+0
\]
\item Zuerst die Ableitung mit der Kettenregel
\begin{eqnarray*}
g'_{a;c}\left(x\right) & = & a\cdot\cos\left(a\cdot x\right)+0
\Rightarrow\mathbb{W}_{g'_{a;c}} & = & \left[a;-a\right]
\end{eqnarray*}
da $\cos\left(x\right)$ Werte zwischen -1 und 1 annimmt.
Analysis 2014 CAS - Teil B
Aufgabe 1
Zuerst aus der Steigung den Winkel für jede Gerade bestimmen und anschließend
den Zwischenwinkel
\begin{eqnarray*}
\tan\alpha & = & 0,45\xrightarrow{\tan^{-1}\left(0,45\right)}24°
\tan\beta & = & -0,5\xrightarrow{\tan^{-1}\left(-0,5\right)}-27°
\gamma & = & \alpha-\beta=24°+27°=51°
\end{eqnarray*}
Aufgabe 2
Die allgemeine Funktion dritten Grades $f\left(x\right)=a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d$
\begin{eqnarray*}
f\left(-10\right) & = & -4,5\qquad\text{Punkt ${P}$ enthalten}\\
f\left(3,18\right) & = & -1,59\qquad\text{Punkt ${Q}$ enthalten}\\
f'\left(-10\right) & = & 0,45\qquad\text{Steigung identisch zu A92}\\
f'\left(3,18\right) & = & -\frac{1}{-0,5}\qquad\text{Steigung senkrecht auf B299}
\end{eqnarray*}
, da $m_{1}\cdot m_{2}=-1$ für sich senkrecht schneidende Geraden.
Aufgabe 3
Gesucht ist die Nullstellte der 2. Ableitung, da Krümmungswechsel
für kubische Funktionen
\begin{eqnarray*}
s\left(x\right) & := & 0,01156x^{3}+0,1771x^{2}+0,5230x-5,416
ds\left(x\right) & := & \frac{d}{dx}\left(s\left(x\right)\right)
dds\left(x\right) & := & \frac{d}{dx}\left(ds\left(x\right)\right)
solve\left(dds\left(x\right)=0,x\right) & & x=-5,10669
s\left(-5,10669\right) & & -5,00782
\end{eqnarray*}
Aufgabe 5
Paralle zur B299 bedeutet, eine Steigung von $m=ds\left(x\right)=-0,5$ \[ solve\left(ds\left(x\right)=-0.5,x\right)\qquad false \] und damit exisitiert keine derartige Stelle. \item Flächen zwischen den Graphen, zuerst von Abfahrt $P$ bis zur $y-$Achse \[ \int_{-10}^{0}s\left(x\right)-0,45\cdot x\text{d}x\qquad-27,6767 \] und dann von der $y-$Achse bis zum Punkt $Q$ \[ \int_{0}^{3,18}s\left(x\right)-\left(-0,5\cdot x\right)\text{d}x\qquad-9,85649 \] und damit ergeben sich 37,533 Flächeneinheiten, wobei bei einem Flächeneinheitsquadrat mit Seitenlänge 20m dies mit $\left(20m\right)^{2}$ multipliziert werden muss. \[ A=37,533\cdot\left(20\,\text{m}\right)^{2}=15013,2\,\text{m²} \]
Aufgabe 6
Dies entspricht dem Abstand (Phytagoras), wobei die Funktion um 6
nach rechts und um 8 nach unten verschoben wurde, eben den Punkt $T$
als Ursprung.
\item Geringste Abstand $\Rightarrow$ Extremum, hier Minimum der Funktion
\begin{eqnarray*}
a\left(x\right) & := & \sqrt{\left(x-6\right)^{2}+\left(s\left(x\right)+8\right)^{2}}
da\left(x\right) & := & \frac{d}{dx}\left(a\left(x\right)\right)
dda\left(x\right) & := & \frac{d}{dx}\left(da\left(x\right)\right)
solve\left(da\left(x\right)=0\right) & & 1.54678
dda\left(1.54678\right) & & 0.697>0
\end{eqnarray*}
und damit liegt ein Minmum vor. Der Abstand beträgt dann
\[
20\cdot a\left(1.54678\right)\qquad117.859
\]
also ca. 118m.
Aufgabe 7
Mittlere Gefälle ist der Quotient aus Höhenunterschied $\Delta h=4,7\,$m zur Strecke $\Delta s$ (siehe Steigungsdreieck). Die Strecke $\Delta s$ liefert die gegebene Funktion $d$ \[ \Delta s=\int_{-10}^{3,18}\sqrt{1+\left(ds\left(x\right)\right)^{2}}\text{d}x\qquad15,4208 \] und damit ist das mittlere Gefälle \[ \frac{4,7\,\text{m}}{15,42\cdot20\,\text{m}}=1,5\% \]