Nenner muss ungleich 0 sein $\Rightarrow4x+5\not=0\Rightarrow x\not=-\frac{5}{4}$, d.h. $\mathbb{D}_{f}=\mathbb{R}\backslash\left\{ -\frac{5}{4}\right\} $.
Für die Ableitung muss die Quotientenregel angewendet werden \begin{eqnarray*} f'\left(x\right) & = & \frac{2\cdot\left(4x+5\right)-4\cdot\left(2x+3\right)}{\left(4x+5\right)^{2}}\\\\ f'\left(x\right) & = & \frac{8x+10-8x-12}{\left(4x+5\right)^{2}}=\frac{-2}{\left(4x+5\right)^{2}} \end{eqnarray*}
Zeigen bedeutet hier ableiten (Produktregel) der Stammfunktion $F\left(x\right)$ \begin{eqnarray} F'\left(x\right) & = & f\left(x\right)\\\\ F'\left(x\right) & = & \frac{1}{4}\cdot2x\cdot\left(2\ln x-1\right)+\frac{1}{4}x^{2}\cdot\frac{2}{x}\\\\ F'\left(x\right) & = & \frac{x}{2}\cdot2\ln x=x\cdot\ln x \end{eqnarray} Um die Stammfunktion mit der gewünschten Eigenschaft zu bestimmen, muss die additive Konstante $C$ bestimmt werden \begin{eqnarray} F\left(1\right)+C & = & 0\\\\ \frac{1}{4}1^{2}\cdot\left(2\ln1-1\right)+C & = & 0\\\\ -\frac{1}{4}+C & = & 0 \end{eqnarray} Damit ist die gesuchte Stammfunktion $F_{2}\left(x\right)=\frac{1}{4}x^{2}\cdot\left(2\ln x-1\right)+\frac{1}{4}$.
Das Anfangsjahr ist das Jahr 2000, da der Exponent $x-2000$ eine um 2000 nach rechts verschobene Exponentialfunktion liefert. \[ N\left(2000\right)=N_{0}\cdot e^{k\left(2000-2000\right)}=N_{0}=6,1\,\text{Mrd} \] Daraus lsst sich der Wachstumsfaktor $k$ bestimmen \begin{eqnarray*} N\left(2010\right) & = & 6,1\,\text{Mrd}\cdot e^{k\cdot\left(2010-2000\right)}=6,9\,\text{Mrd}\\\\ \frac{6,9}{6,1} & = & e^{10k}\quad|\ln\ldots\\\\ \ln\frac{6,9}{6,1} & = & 10k\Rightarrow k=0,1\ln\frac{6,9}{6,1}=0,0123 \end{eqnarray*}
zu beachten ist, dass das Integral immer eine Flächenbilanz darstellt
es handelt sich um eine einfach verkettete Funktion mit der äußeren Funktion $\sin x$ und einer linearen Funktion $2x$ ohne $y-$Achsenabschnitt
\begin{eqnarray*} F\left(x\right)=\int_{0}^{x}\sin\left(2t\right)\,\text{d}x & = & \left[\frac{1}{2}\left(-\cos\left(2t\right)\right)\right]_{0}^{x}\\\\ F\left(x\right) & = & -\frac{1}{2}\cos\left(2x\right)-\left(-\frac{1}{2}\cos0\right)\\\\ F\left(x\right) & = & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos\left(2x\right) \end{eqnarray*}
einsetzen ergibt $F\left(\pi\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos\left(2\pi\right)=0\quad\surd$
Der Radikand darf niemals negativ werden $\Rightarrow x+3>0\Rightarrow x>-3$ und $f\left(x\right)$ geht aus $w\left(x\right)$ hervor, indem diese um $3$ nach links (Argument $x+3$) entlang der $x-$Achse verschoben wird.
Es handelt sich um einen Pythagoras mit $\Delta x^{2}+\Delta y^{2}=d\left(x\right)^{2}$, wobei die Koordinaten von $P$ und $Q$ zu nehmen sind\rand{II Binomi: $\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$} \begin{eqnarray*} \left(x-1,5\right)^{2}+\left(\sqrt{x+3}-0\right)^{2} & = & d\left(x\right)^{2}\\\\ x^{2}-3x+2,25+x+3 & = & d\left(x\right)^{2}\\\\ d\left(x\right) & = & \sqrt{x^{2}-2x+5,25} \end{eqnarray*}
kleinster Abstand bedeuted Minimum $\Rightarrow$Kurvendiskussion
\[
d'\left(x\right)=\frac{2x-2}{2\sqrt{x^{2}-2x+5,25}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+5,25}}
\]
Zwei Geraden stehen zueinander senkrecht falls $m_{1}\cdot m_{2}=-1$
Gesucht ist das Integral von $-3$ bis $1$ als Fläche unter dem Graphen + das kleine Dreieck durch die Strecke $\left[PQ_{E}\right]$
Tangente (die Berührende) einzeichnen und über Steigungsdreieck die Steigung $m$ ablesen. Die Steigung für $x\mapsto\pm\infty$ ist konstant, nämlich $\frac{1}{2}$ (schräge Asymptote) und deswegen der Grenzwert für die Ableitungsfunktion.
Beachtet werden muss die äußere Funktion $\ln x$