Nenner muss ungleich 0 sein $\Rightarrow4x+5\not=0\Rightarrow x\not=-\frac{5}{4}$, d.h. $\mathbb{D}_{f}=\mathbb{R}\backslash\left\{ -\frac{5}{4}\right\} $.

Für die Ableitung muss die Quotientenregel angewendet werden \begin{eqnarray*} f'\left(x\right) & = & \frac{2\cdot\left(4x+5\right)-4\cdot\left(2x+3\right)}{\left(4x+5\right)^{2}}\\\\ f'\left(x\right) & = & \frac{8x+10-8x-12}{\left(4x+5\right)^{2}}=\frac{-2}{\left(4x+5\right)^{2}} \end{eqnarray*}

Zeigen bedeutet hier ableiten (Produktregel) der Stammfunktion $F\left(x\right)$ \begin{eqnarray} F'\left(x\right) & = & f\left(x\right)\\\\ F'\left(x\right) & = & \frac{1}{4}\cdot2x\cdot\left(2\ln x-1\right)+\frac{1}{4}x^{2}\cdot\frac{2}{x}\\\\ F'\left(x\right) & = & \frac{x}{2}\cdot2\ln x=x\cdot\ln x \end{eqnarray} Um die Stammfunktion mit der gewünschten Eigenschaft zu bestimmen, muss die additive Konstante $C$ bestimmt werden \begin{eqnarray} F\left(1\right)+C & = & 0\\\\ \frac{1}{4}1^{2}\cdot\left(2\ln1-1\right)+C & = & 0\\\\ -\frac{1}{4}+C & = & 0 \end{eqnarray} Damit ist die gesuchte Stammfunktion $F_{2}\left(x\right)=\frac{1}{4}x^{2}\cdot\left(2\ln x-1\right)+\frac{1}{4}$.

Das Anfangsjahr ist das Jahr 2000, da der Exponent $x-2000$ eine um 2000 nach rechts verschobene Exponentialfunktion liefert. \[ N\left(2000\right)=N_{0}\cdot e^{k\left(2000-2000\right)}=N_{0}=6,1\,\text{Mrd} \] Daraus lsst sich der Wachstumsfaktor $k$ bestimmen \begin{eqnarray*} N\left(2010\right) & = & 6,1\,\text{Mrd}\cdot e^{k\cdot\left(2010-2000\right)}=6,9\,\text{Mrd}\\\\ \frac{6,9}{6,1} & = & e^{10k}\quad|\ln\ldots\\\\ \ln\frac{6,9}{6,1} & = & 10k\Rightarrow k=0,1\ln\frac{6,9}{6,1}=0,0123 \end{eqnarray*}

zu beachten ist, dass das Integral immer eine Flächenbilanz darstellt

es handelt sich um eine einfach verkettete Funktion mit der äußeren Funktion $\sin x$ und einer linearen Funktion $2x$ ohne $y-$Achsenabschnitt

\begin{eqnarray*} F\left(x\right)=\int_{0}^{x}\sin\left(2t\right)\,\text{d}x & = & \left[\frac{1}{2}\left(-\cos\left(2t\right)\right)\right]_{0}^{x}\\\\ F\left(x\right) & = & -\frac{1}{2}\cos\left(2x\right)-\left(-\frac{1}{2}\cos0\right)\\\\ F\left(x\right) & = & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos\left(2x\right) \end{eqnarray*}

einsetzen ergibt $F\left(\pi\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos\left(2\pi\right)=0\quad\surd$

Der Radikand darf niemals negativ werden $\Rightarrow x+3>0\Rightarrow x>-3$ und $f\left(x\right)$ geht aus $w\left(x\right)$ hervor, indem diese um $3$ nach links (Argument $x+3$) entlang der $x-$Achse verschoben wird.

Es handelt sich um einen Pythagoras mit $\Delta x^{2}+\Delta y^{2}=d\left(x\right)^{2}$, wobei die Koordinaten von $P$ und $Q$ zu nehmen sind\rand{II Binomi: $\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$} \begin{eqnarray*} \left(x-1,5\right)^{2}+\left(\sqrt{x+3}-0\right)^{2} & = & d\left(x\right)^{2}\\\\ x^{2}-3x+2,25+x+3 & = & d\left(x\right)^{2}\\\\ d\left(x\right) & = & \sqrt{x^{2}-2x+5,25} \end{eqnarray*}

kleinster Abstand bedeuted Minimum $\Rightarrow$Kurvendiskussion \[ d'\left(x\right)=\frac{2x-2}{2\sqrt{x^{2}-2x+5,25}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+5,25}} \]

• einfache NST der Ableitungsfunktion bei $x-1=0\Rightarrow x_{E}=1$ und somit Extremum
• Nenner ist immer positiv und damit zählt das Vorzeichen der Zählerfunktion, also zuerst fallend (z.B. $x=2:$ $2-1=-1$) dann steigend, also Minimum
• Koordinaten nicht vergessen $f\left(1\right)=\sqrt{4}=2\Rightarrow Q\left(1|2\right)$

Zwei Geraden stehen zueinander senkrecht falls $m_{1}\cdot m_{2}=-1$

• Zur Bestimmung der Tangentensteigung wird die Ableitung benötigt: \begin{eqnarray*}f'\left(x\right) & = & \frac{1}{2\sqrt{x+3}}\cdot1\\\\f'\left(1\right) & = & \frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}=m_{T}\end{eqnarray*}
• Die Steigung von $\left[PQ_{E}\right]$ lässt sich ablesen: 1 Kästchen rüber, 4 nach unten $\Rightarrow m_{\left[PQ_{E}\right]}=-4$
• $m_{\left[PQ_{E}\right]}\cdot m_{T}=\frac{1}{4}\cdot\left(-4\right)=-1\quad\surd$

Gesucht ist das Integral von $-3$ bis $1$ als Fläche unter dem Graphen + das kleine Dreieck durch die Strecke $\left[PQ_{E}\right]$

• wir berechnen zuerst das Integral \begin{eqnarray*}\int_{-3}^{1}\sqrt{x+3}\,\text{d}x & = & \int_{3}^{1}\left(x+3\right)^{\frac{1}{2}}\,\text{d}x\\\\ & = & \left[\frac{2}{3}\left(x+3\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{-3}^{1}\\\\ & = & \frac{2}{3}\left(1+3\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\left(0\right)^{\frac{3}{2}}\\\\ & = & \frac{2}{3}\cdot8=\frac{16}{3}\end{eqnarray*}
• Fläche des Dreicks ist $\frac{1}{2}\text{Grundlinie}\times\text{Höhe}$\[A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot2=\frac{1}{2}\]
• Die Gesamtfläche beträgt dann $\frac{16}{3}+\frac{1}{2}=\frac{32+3}{6}=\frac{35}{6}$.

Tangente (die Berührende) einzeichnen und über Steigungsdreieck die Steigung $m$ ablesen. Die Steigung für $x\mapsto\pm\infty$ ist konstant, nämlich $\frac{1}{2}$ (schräge Asymptote) und deswegen der Grenzwert für die Ableitungsfunktion.

• I kann nicht sein, da die schräge Asymptote hier $x-1$ wäre
• II kann nicht sein, da wegen der Nennerfunktion $x-1$ bei $\frac{a}{x-1}$ keine VZW wäre (einfache Vielfachheit)
• Bestimmung des Funktionsterms über die NST \begin{eqnarray*}0 & = & \frac{1}{2}\left(-1\right)-1+\frac{a}{\left(-1-1\right)^{2}}\\\\\frac{3}{2} & = & \frac{a}{4}\Rightarrow a=6\end{eqnarray*}

Beachtet werden muss die äußere Funktion $\ln x$

• Defintionsbereich der äußeren Funktion ist $\mathbb{R}^{+}$, also darf $g\left(x\right)$ nicht negativ werden$\Rightarrow\mathbb{D}_{h}=]-1:\infty[\backslash\left\{ 1\right\} $
• $\lim_{x\mapsto-1}h\left(g\left(x\right)\right)="\ln0"=-\infty$ und $\lim_{x\mapsto1;\infty}h\left(g\left(x\right)\right)="\ln\infty"=\infty$
• NST für $g\left(x_{0}\right)=1\xrightarrow{\text{einsetzen}}\ln1=0$, man muss also den Punkt $\left(-0,6|1\right)$ aus dem Graphen ablesen